La derivada y la antiderivada son los dos tipos principales de cálculo que se utilizan para calcular la pendiente de la recta tangente y el área bajo la curva, respectivamente. Ambos subtipos de cálculo se pueden definir y evaluar con la ayuda del cálculo límite.
La principal diferencia entre una derivada y una antiderivada es que la antiderivada invierte el proceso que hace una derivada. En esta publicación, aprenderemos todos los conceptos básicos de derivadas y antiderivadas junto con sus definiciones, fórmulas y ejemplos.
¿Qué es la derivada en cálculo?
En cálculo, el término que se utiliza para evaluar la pendiente de la recta tangente se conoce como derivada. También se le conoce como diferencial y se define como la tasa de cambio instantánea de las funciones correspondientes a sus variables independientes.
El proceso de encontrar la diferencial de una función (derivando la función con respecto a una variable independiente) se conoce como diferenciación. La derivada de las funciones se evaluará con la ayuda del método del primer principio en el que están involucrados los límites. Se denota por d/dr donde r es la variable independiente.
Formula de la derivada por el primer principio
El método del primer principio es ampliamente utilizado para calcular el diferencial de la función. Aquí está la expresión general de este método.
d/dr [f(r)] = limh→0 [f(r + h) – f(r)] / hora
Tipos de derivados
Hay diferentes tipos de derivadas en cálculo para resolver varios tipos de problemas complejos. Estos subtipos de la derivada son:
Estos tipos de derivadas se utilizan con frecuencia para diferenciar funciones simples, dobles y multivariables. Estos tipos cubrirán todos los conceptos básicos de diferenciación al resolver las funciones y expresiones lineales, algebraicas, trigonométricas, geométricas, logarítmicas, exponenciales y muchas otras.
Reglas de derivadas en cálculo
Las reglas de diferenciación son útiles para diferenciar fácilmente las funciones. Aquí hay algunas reglas de diferenciación bien conocidas que son muy útiles para calcular la derivada de las funciones. Nombre de las reglasRule Trigonometry Ruled/dr [sin(r)] = cos(r)
d/dt [cos(r)] = -sin(r)
d/dr [tan(r)] = sec2(r)Potencia gobernada/dr [p(r)]norte = norte [p(r)]n-1 * d/dr [p(r)]Cociente Reglado/dt [p(r) / q(r)] = 1/[q(r)]2 [q(r) d/dr [p(r)] – p(r) d/dr [q(r)]]Producto Reglado/dt [p(r) * q(r)] = q(r) d/dr [p(r)] + p(r) d/dr [q(r)]Gobernado constante/dr [M] = 0, donde M es cualquier diferencia constante Reglamentada/dr [q(r) – q(r)] = d/dr [p(r)] – d/dr [q(r)]Suma Gobernada/dr [q(r) + q(r)] = d/dr [p(r)] + d/dr [q(r)]Exponencial Gobernado/dr [er] = Función erConstant Reglada/dt [M * p(r)] = M d/dr [p(r)]
¿Cómo calcular los problemas de la derivada?
Los problemas de derivadas en cálculo se pueden resolver fácilmente usando sus reglas o un calculadora de derivadas. Aquí hay un ejemplo de un diferencial para resolver manualmente.
Ejemplo
Evalúa la derivada de la función dada con respecto a “r”.
p(r) = 2r2 + 4r3 – 2r / 5r2 + 20r
Solución
Paso 1: En primer lugar, tome la función dada p(r) y aplíquele la notación d/dr.
p(r) = 2r2 + 4r3 – 2r / 5r2 + 20r
d/dr p(r) = d/dr [2r2 + 4r3 – 2r / 5r2 + 20r]
Paso 2: ahora aplica la notación diferencial [d/dr] a cada término de la expresión anterior por separado usando la ley de diferenciación de suma y diferencia.
d/dr [2r2 + 4r3 – 2r / 5r2 + 20r] = d/dr [2r2] + d/dr [4r3] – d/dr [2r / 5r2] + d/dr [20r]
Paso 3: Ahora usa la regla del cociente de la derivada.
d/dr [2r2 + 4r3 – 2r / 5r2 + 20r] = d/dr [2r2] + d/dr [4r3] – [1/(2r)2 (2r d/dr [5r2] – 5r2 d/dr [2r])]+ d/dr [20r]
d/dr [2r2 + 4r3 – 2r / 5r2 + 20r] = d/dr [2r2] + d/dr [4r3] – 1/4r2 (2r d/dr [5r2]) + 1/4r2 (5r2 d/dr [2r]) + d/dr [20r]
Paso 4: Ahora saca los coeficientes constantes fuera de la notación diferencial.
d/dr [2r2 + 4r3 – 2r / 5r2 + 20r] = 2d/dra [r2] + 4d/d [r3] – 1/4r2 (2r d/dr [5r2]) + 1/4r2 (5r2 d/dr [2r]) + 20 d/d [r]
Paso 5: ahora usa la regla de la potencia para diferenciar la función anterior con respecto a «r».
= 2[2r2-1] + 4 [3r3-1] – 1/4r2 (2r [10r2-1]) + 1/4r2 (5r2 [2r1-1]) + 20 [r1-1]
= 2[2r1] + 4 [3r2] – 1/4r2 (2r [10r1]) + 1/4r2 (5r2 [2r0]) + 20 [r0]
= 2[2r] + 4 [3r2] – 1/4r2 (2r [10r]) + 1/4r2 (5r2 [2(1)]) + 20 [1]
= 2[2r] + 4 [3r2] – 1/4r2 (20r2) + 1/4r2 (10r2) + 20
= 4r + 12r2 – 20r2/4r2 + 10r2/4r2 + 20
= 4r + 12r2 – 5 + 5/2 + 20
= 4r + 12r2 + 5/2 + 15
= 4r + 12r2 + 35/2
¿Qué es la Antiderivada?
En cálculo, el proceso inverso de la diferencial se conoce como antiderivada. Es ampliamente utilizado para calcular el área bajo la curva. Calcula la nueva función cuya función original es derivada y calcula el valor numérico de la función.
El cálculo de límites también se usa en este subtipo de cálculo, que es útil para calcular el valor numérico de la función aplicando el valor límite superior e inferior. El teorema fundamental del cálculo es una técnica de ayuda completa para aplicar el límite superior e inferior a la función integrada.
Tipos de antiderivadas (integrales)
Hay otros dos subtipos de antiderivadas,
Las integrales definidas e indefinidas son muy utilizadas para calcular el valor numérico de la función y la nueva función cuya función original es derivada respectivamente. Los valores límite se utilizan en la integral definida.
Fórmulas de antiderivadas
La fórmula para encontrar el valor numérico de la función es:
p(r) dr = P[r]ts = P