¿Cuál es la diferencia entre vectores y tensores? (Explicado) – Todas las diferencias

tensores son matrices complejas que tienen propiedades específicas y diferentes. No toda colección multifacética es un tensor.

Hay dos tipos de unidimensionales tensores: Estos incluyen vectores y co-vectores. Tanto los vectores como los covectores se pueden representar como una matriz accesible de números.

La única diferencia es que vincular esos dos ocurre cuando tienes una variedad de dígitos que representan el objeto sobre una base y quieres descubrir qué números complican lo mismo en algún terreno diferente.

Los signos y reglas de transformación son ligeramente diferentes para vectores y co-vectores. Los vectores y covectores suelen ser “columnas de números” o “líneas de números”, respectivamente.

diferencia vectorial y tensorialDiferencia de vectores y tensores

En resumen, un vector siempre será un tensor unidimensional; si tienes un tensor unidimensional, seguramente será cualquiera un vector o co-vector. Los tensores bidimensionales se conocen como matrices.

Hay cuatro tipos diferentes de tensores bidimensionales, pero no existen nombres específicos. En el caso de los vectores, las reglas de transformación son ligeramente diferentes cuando se pasa de una base a otra, pero no hay nombres específicos para estos tensores: son solo matrices.

Tarde o temprano, se les puede llamar a cualquier matriz bidimensional una “matriz”, incluso si no es un tensor. Nuevamente, para obtener más detalles sobre la diferencia entre matriz y tensor, consulte la discusión anterior.

Qué saber sobre los tensores

tensores Los tensores son arreglos complejos que tienen propiedades específicas y diferentes.

Los tensores son objetos matemáticos que pueden ser utilizado para describir propiedades sustanciales, al igual que escalares y vectores. Los tensores son simplemente una inferencia de escalares y vectores; un escalar es un tensor de rango 0 y un vector es un tensor de primer rango.

El rango de un tensor se identifica por el número de direcciones (y por lo tanto la dimensionalidad de la matriz) necesarias para definirlo. Por ejemplo, las propiedades que requieren un enfoque (o primer rango) se pueden describir fácilmente mediante un vector de columna de 3 × 1.

Además, las propiedades que requieren dos órdenes (tensores de segundo rango) se puede definir mediante nueve números, como en una matriz general de 3×3, 3n coeficientes pueden describir el tensor de rango n.

El requisito de los tensores de segundo rango surge cuando necesitamos pensar en más de una dirección para describir 1 de estos aspectos físicos.

Un ejemplo perfecto de esto es si necesitamos saber la conductividad eléctrica de cualquier cristal isotrópico. Sabemos que en términos generales, conductores isotrópicos que requieren obedecer la ley de Ohm y es decir; j=σE. Esto significa que la densidad de corriente j es paralela al campo eléctrico dedicado, E y que cada parte de j es linealmente proporcional por elemento de E. (p. ej., j1 = σE1).

Componentes del campo eléctricoj1 = σ11E1 + σ12E2 + σ13E3j2 = σ21E1 + σ22E2 + σ23E3j3 = σ31E1 + σ32E2 + σ33E3Componentes del campo eléctrico

Sin embargo, la densidad de corriente inducida en un material anisotrópico no necesariamente será paralela al campo eléctrico involucrado debido a las diferentes direcciones del flujo de corriente del cristal (un excelente ejemplo de esto es el grafito). Esto sugiere que, en general, cada componente del vector de densidad existente puede depender de todas las partes del campo eléctrico actual.

Entonces, en general, la conductividad eléctrica es un tensor de segundo rango y se puede fijar mediante nueve coeficientes independientes, que se pueden ilustrar en una matriz de 3×3.

Esto significa que la densidad de corriente j es paralela al campo eléctrico dedicado, E y que cada parte de j es linealmente proporcional a por campo.

Algunos ejemplos de tensores de segundo rango

Algunos otros ejemplos de tensores de segundo rango comprender:

  • Susceptibilidad eléctrica
  • Conductividad térmica
  • Estrés

Generalmente relacionan un vector con otro vector u otro tensor de rango dual con un escalar. A los tensores de rango más alto se les indica que describan completamente las propiedades que indican dos tensores de segundo rango (p. ej., Rigidez (4.° rango): esfuerzo y deformación) o un tensor de segundo rango y un vector (p. ej., Piezoelectricidad (3.° rango): ansiedad y tensión). polarización).

Para ver estos y más ejemplos e investigar cómo el cambio de los componentes de los tensores afecta estas propiedades, consulte el programa flash a continuación.

Introducción a los tensores

¿Qué es un vector?

A vector es una matriz unidimensional de números, una matriz donde m o n es igual a 1. Similar a una matriz, es posible realizar varias operaciones matemáticas en un vector, y es fácil multiplicar matrices con vectores y viceversa.

Sin embargo, se puede pensar en un tensor como una matriz generalizada que su rango puede describir.

El nivel de un tensor es un número entero de 0 o superior. Un escalar puede representar un tensor de rango 0, un tensor de rango uno puede representarse mediante un vector y una matriz puede representar un tensor de rango dos. También existen tensores de rango tres y superiores, siendo estos últimos más difíciles de visualizar.

Además del rango, los tensores tienen características específicas relacionadas con la forma en que interactúan entre sí como entidades matemáticas. Si alguna de las entidades en una interacción transforma a la otra entidad o entidades, entonces el tensor debe obedecer una regla de transformación similar.

Diferencia entre vectores y tensores

vector Vector es una matriz unidimensional de números, a menudo conocida como matriz, donde m o n = uno.

Todos los vectores suelen ser tensores. Pero no todos los tensores pueden ser vectores. Esto significa que los tensores son un objeto más generalizado que un vector (estrictamente hablando, aunque los matemáticos ensamblan tensores a través de vectores). Los tensores se describen técnicamente a través de dos objetos diferentes:

  • Vectores
  • Formas únicas (vectores “dual”)

Vectores son exclusivamente objetos para los que sabes lo que indica contar dos de ellos (suma de vectores) para cambiarlos de escala (también conocida como multiplicación escalar).

Una forma, asimismo, tiene todas las mismas nociones; aparte de eso, puede operar en vectores y luego devolver escalares. Los ejemplos están en orden: los ejemplos más prototípicos incluyen vectores euclidianos: puntos del espacio.

Los ejemplos incluyen formas únicas que serían el “vector” de potencial magnético (no es un vector “verdadero”) o el operador de gradiente.

Cuando agrega otras suposiciones apropiadas, la propiedad más significativa es que las formas únicas y los vectores se convierten de alguna manera bajo un cambio de coordenadas. Estas son las propiedades que más preocupan a los físicos cuando consultan cosas como la teoría de la relatividad general.

Los tensores, por elongación, como objetos matemáticos son operadores “multilineales”; es decir, toman conjuntos de vectores (y formas únicas) y devuelven otro tensor (a diferencia de los operadores lineales, que toman vectores y devuelven vectores). Estos tienen diferentes usos.

Suponga que desea comprender la teoría general de los tensores. En ese caso, debe comprender el álgebra abstracta y el álgebra increíblemente lineal), y si va a comprender el cálculo tensorial, también debe comprender la teoría de las variedades diferenciables.

Pensamientos finales

En este artículo, has aprendido que:

  • Los tensores son arreglos multidimensionales con distintas propiedades.
  • No toda colección multifacética es un tensor.
  • Un vector es siempre un tensor unidimensional y un tensor unidimensional siempre es un vector o un covector. Matriz es el nombre que se le da a los tensores bidimensionales.
  • Vector es una matriz unidimensional de números, a menudo conocida como matriz, donde m o n = 1. Un vector, como una matriz, puede usarse para ejecutar una variedad de operaciones matemáticas, y es simple multiplicar matrices con vectores y viceversa.
  • Por otro lado, un tensor puede concebirse como una matriz generalizada descrita por su rango.

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