En cálculo, los límites y la continuidad se utilizan con frecuencia para diferentes propósitos. El límite es una rama del cálculo que se utiliza para definir otras ramas del cálculo como la derivada y la integral. Mientras que la continuidad se usa para verificar si la función es continua o no.
los diferencia principal entre límite y continuidad es que el límite es un valor determinado, mientras que la continuidad describe el comportamiento de la función. En este artículo, cubriremos todos los conceptos básicos de límite y continuidad junto con definiciones y fórmulas.
¿Qué es el límite?
En cálculo, el valor de la función de «x» se aproxima a medida que su valor de x se aproxima a un cierto valor que se conoce como límite. En palabras simples, sea f(x) una función que se define en algún intervalo abierto de un número «c», excepto posiblemente en «c» mismo.
Entonces decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a “c” es P, y el límite se puede escribir como:
límx→cf(x) = P
¿Cómo calcular los límites?
Los problemas de límites se pueden calcular usando los tipos y reglas de límites o un calculadora de límite. Tomemos un ejemplo de un límite para aprender a calcularlo.
Ejemplo 1
Encuentre el límite de 9×3 – 19×2 + 19xy + x5 + 2, cuando x tiende a 7.
Solución
Paso 1: Escribe la función dada y aplica la notación de límite sobre ella.
limx→7 [9×3 – 19×2 + 19xy + x5 + 2]
Paso 2: ahora usa las reglas de suma y diferencia de límites y escribe la notación de límite junto con cada función por separado.
limx→7 [9×3 – 19×2 + 19xy + x5 + 2] = límx→7 [9×3] – límx→7 [19×2] + limx→7 [19xy] + limx→7 [x5] + limx→7 [2]
Paso 3: ahora aplique la regla de la función constante del límite y tome los coeficientes constantes fuera de la notación del límite.
limx→7 [9×3 – 19×2 + 19xy + x5 + 2] = 9limx→7 [x3] – 19limx→7 [x2] + 19ylimx→7 [x] + limx→7 [x5] + limx→7 [2]
Paso 4: ahora usa las reglas de potencia y constante de los límites y aplica x = 7 a cada función.
limx→7 [9×3 – 19×2 + 19xy + x5 + 2] = 9 [73] – 19 [72] + 19 años [7] + [75] + [2]
= 9 [343] – 19 [49] + 19 años [7] + [16807] + [2]
= 3087 – 931 + 133y + 16807 + 2
= 18965 + 133y
¿Qué es la Continuidad?
La continuidad describe el comportamiento de una función en un determinado punto o sección. Los límites se utilizan para encontrar la continuidad de la función. Una función f(x) es continua en un punto “c” si y solo si se cumplen las siguientes condiciones.
- f(c) está definida (la función debe definirse en “c”)
- limx→cf(x) existe
- límx→cf(x) = f(c)
Mientras que si la función no es continua, debe ser una función discontinua.
¿Cómo calcular la continuidad?
Al satisfacer las tres condiciones de continuidad, puede determinar cualquier función continua o discontinua. Tomemos un ejemplo de continuidad para aprender a calcularla.
Ejemplo
Determina si f(x) = 4×2 + 12x + 6 es continua o discontinua si x tiende a 3.
Solución
Paso 1: Verifique que la función dada esté definida o no en x = 3
f(x) = 4×2 + 12x + 6
f(3) = 4(3)2 + 12(3) + 6
= 4(9) + 12(3) + 6
= 36 + 36 + 6
= 78
Por lo tanto, la función dada se define en x = 3.
Paso 2: ahora verifica si el límite de la función existe o no en x = 3.
- Aplicar la notación de límite.
límx→3 f(x) = límx→3 [4×2 + 12x + 6]
- Aplique la notación de límite por separado a cada función usando la regla de la suma de límites.
limx→3 [4×2 + 12x + 6] = límx→3 [4×2] + limx→3 [12x] + limx→3 [6]
- Ahora aplique la regla de límite de función constante y saque los coeficientes constantes fuera de la notación de límite.
limx→3 [4×2 + 12x + 6] = 4limx→3 [x2] + 12limx→3 [x] + limx→3 [6]
- Ahora usa las reglas de potencia y constante de los límites y aplica x = 7 a cada función.
limx→3 [4×2 + 12x + 6] = 4 [32] + 12 [3] + [6]
= 4 [9] + 12 [3] + [6]
= 36 + 36 + 6
= 78
Por lo tanto, el límite de la función existe en x = 3.
Paso 3: Ahora verifique los resultados de la función definida y el límite.
f(3) = 78
límx→3 f(x) = 78
Entonces, límx→3 f(x) = f(3)
Por lo tanto, se cumplen todas las condiciones de continuidad, por lo que la función dada es continua en x = 3.
Tabla Comparativa: Límite Vs Continuidad
CaracterísticasLímiteContinuidadDefiniciónEl límite es un valor determinadoLa continuidad describe el comportamiento de la funciónFórmulaf(x) = PRetiene tres condiciones f(c) está definida limx→cf(x) existe limx→cf(x) = f(c)AplicaciónLos límites se usan para definir la derivada , continuidad e integralContinuity se usa para verificar si la función es continua o discontinuaUsageLimits usa los tipos y reglas para resolver sus problemasContinuity usa los límites para resolver sus problemas
Preguntas frecuentes
¿Cuál es el significado de límite y continuidad?
El límite encuentra el valor numérico de la función de una variable, mientras que la continuidad muestra el comportamiento de la función, ya sea continua en el punto dado o discontinua.
La función debe ser continua si la función está definida en un punto particular, el límite de la función existe en el punto particular y la salida del límite y la función deben ser las mismas en el punto particular.
¿Cuáles son las tres condiciones de una función continua?
Se dice que una función es continua si se cumplen las condiciones de vuelo.
– La función debe estar definida en un punto determinado.
– El límite de la función debe existir en un punto específico.
– La salida del límite y la función deben ser idénticas en el punto específico.
¿Puede existir un límite si es discontinuo?
No, el límite de la función continua no puede existir. El límite primero hace que la función sea continua usando los teoremas de los límites y luego encontrando el límite.
¿Cuáles son los 4 tipos de discontinuidad?
Hay cuatro tipos de discontinuidad:
1 – Discontinuidad de salto
2 – Discontinuidad removible
3 – Punto de discontinuidad
4 – Discontinuidad esencial
¿Cuáles son las reglas de los 8 límites?
1 – Regla de la suma:
límx→c [f(x) + h(x)] = límx→c [f(x)] + límx→c [h(x)]
2 – Regla constante
límx→c [K] = k
3 – Regla de la función constante
límx→c [K * f(x)] = K límx→c [f(x)]
4 – Regla de potencia
límx→c [f(x)]norte = [limx→c f(x)]norte
5 – Regla de la diferencia:
límx→c [f(x) – h(x)] = límx→c [f(x)] – límx→c [h(x)]
6 – Regla del cociente:
límx→c [f(x) / h(x)] = límx→c [f(x)] / límx→c [h(x)]
7 – Regla del producto:
límx→c [f(x) * h(x)] = límx→c [f(x)] * límx→c [h(x)]
8 – Regla de L’hopital:
límx→c [f(x) / h(x)] = límx→c [d/dx f(x) / d/dx h(x)]
Conclusión
En este artículo, hemos discutido todos los conceptos básicos del límite y la continuidad. El límite y la continuidad son dos términos diferentes que se utilizan para definir varios términos. Ahora puede obtener todos los conceptos básicos de límite y continuidad de la publicación anterior.
